1. Korrutamine ja jagamine
(Ona Štitiliene põhjal)
Korrutamise ja jagamise õpetus sisaldab endas kahte etappi:
I – teadmiste kujundamine korrutamisest ja jagamisest kui uutest aritmeetilistest tehetest;
II – korrutustabeli ja vastavate jagamisjuhtude omandamine.
I etapp on raske, sest
1) korrutamise ja jagamise sisu mõistmiseks on vaja küllalt kõrget abstraktse mõtlemise taset, milleni õpiraskustega õpilased pole oma mõtlemise arengus veel jõudnud;
2) lapsed kipuvad tabelit mehhaaniliselt pähe õppima.
Korrutamise ja jagamise õpetamisel tuleb arvestada psühholoogide (Galperin, Leontjev, Davõdov jt) uurimusi, mis näitavad, et iga uut vaimset toimingut tuleb enne kujundada selle välises plaanis (st materialiseeritult), mitte aga sisemises (vaimses) plaanis.
Seejärel tuleb uus toiming viia väliskõnesse, st operatsioonid on vaja läbi rääkida ja lõpuks järk-järgult kanda sisekõne ja vaimse toimingu tasemele.
Kui õpilane õpib korrutustabeli pähe, on põhirõhk suunatud mäluprotsessidele, kusjuures õpilane ei taasta uut operatsiooni, vaid püüab mehhaaniliselt omandada resultaadid. Traditsiooniliselt kasutatakse korrutamise ja jagamise selgitamiseks liiga vähe näitlikkust, praktilisi tegevusi aga veelgi vähem. Kiire üleminek näitlikkuselt väliskõne tasemele ei loo õpilaste jaoks vajalikku toimingu materiaalset taset ja omandatud teadmised jäävad formaalseteks.
Korrutamist selgitatakse kui võrdsete liidetavate liitmist, kasutades küllaldaselt praktilisi tegevusi erinevate vahenditega ja mitmekesist näitlikku materjali, kuni vastava toimingu märkimiseni tingmärkidega.
Kui õpilased omandavad materialiseeritult ja väliskõnes võrdsete liidetavate liitmise, saab sisse viia uue tehtemärgi (•) ja näidata, kuidas kirjutatakse korrutamisvõrdust. Seejärel vahetatakse liitmistehe korrutamistehtega ja korrutamistehe liitmistehtega. Ka sel etapil pööratakse tähelepanu kommenteerimisele, st õpilane räägib läbi, mis ta konkreetsel juhul teeb. Kui vastavaid toiminguid suudetakse väliskõnes ja ka verbaalse korralduse järgi sooritada, selgitatakse õpilasele, et parema meeldejätmise eesmärgil koostame korrutustabeli.
Tabeli paremaks kinnistamiseks luuakse palju erinevaid situatsioone, kus seda on vaja kasutada ka väljaspool klassi, samuti on vaja süstemaatilist kordamist.
Korrutamise käsitlemine sammude kaupa:
♠ 1. sammuna on põhitegevus suunatud võrdsete gruppide eraldamisele ja nende järgi summa leidmisele. Õpetaja kutsub tahvli juurde 2 õpilast, siis veel 2 ja veel 2. Küsib:
–Mitu õpilast ma korraga kutsusin? (2)
-Mitu korda ma kutsusin õpilasi 2-kaupa? (3 korda)
-Mitu õpilast tuli tahvli juurde? (6)
-Kuidas sa selle leidsid?
2+2+2 selle kirjutab üks õpilastest ka tahvlile.
Osutades esitatud võrdusele, küsib õpetaja:
–Missugust arvu liitsime? (Liitsime arvu 2)
-Mitu korda me liitsime arvu 2? (3 korda)
Nüüd võetakse mingi arv kordi kolme, kahe, nelja jne pliiatsi kaupa, klotsi kaupa.
–Võta 3 korda igakord 3 klotsi!
-Võta 4-ja kaupa pliiatseid 2 korda!
Iga kord laseb õpetaja öelda:
-Mitme kaupa võtsid?
-Mitu korda võtsid?
Nüüd laseb õpetaja iga juhuse ka tahvlile liitmistehtega üles märkida ja selle järgi rääkida, „mitme kaupa”, „mitu korda” on liidetud. „Missugune on summa?” Nii jõutakse mõisteni: „Niimitu korda võtsin niimitme kaupa”.
♠ 2. sammuna võetakse võrdseid gruppe mitte üksi konkreetselt, vaid kasutatakse juba ka pildikaarte võrdsete hulkadega. Sellel tunnil pööratakse põhitähelepanu väljenditele/küsimustele: „Mitme kaupa võtsid?” ja „Mitu korda võtsid?” sisu täpsustamisele ja diferentseerimisele. Kasutatakse kinesteetilise taju abi, see tähendab hoogsaid käte liigutusi, mis sooritavad ja imiteerivad „haaramisliigutusi”. Näiteks: õpetajal on laual 3-kaupa 4 gruppi kuubikuid. Õpetaja ütleb lastele, et tema hakkab võtma kuubikuid, lapsed aga teevad kohal samasuguseid liigutusi kaasa. Liigutusi sooritatakse hästi hoogsalt ja laialt. Seejuures fikseeritakse mitu korda võeti. Ka selle tunni kehakultuuripaus pühendatakse niisugusele võtmisele (maast).
Edasi pööratakse tähelepanu tööle didaktilise materjaliga. Õpilased peavad ümbrikust, karbist võtma (ringe, kolmnurki, lilli, korke, klotse jne) mingi hulga kaupa mingi arv kordi. See on kinnistav töö ka eelnimetatud küsimuste mõistmiseks, sest sõrmede ja silmade abil võetava grupi määramine kinnistab mõiste mitme kaupa ja kindel arv edasi-tagasi liigutuste sooritamine kinnistab mõiste mitu korda. Iga üksiku operatsiooni, st mingi hulga kaupa mingi arv kordi haaramine kohta kirjutatakse vastav liitmisvõrdus.
♠ 3. sammuna süvendatakse läbivõetud materjali, milleks õpetaja valib joonistamise võtte ja tehete märkimise joonise alla. Näiteks: „Joonistage 5 korda 2 ringi kaupa”, „Joonistage 4 kriipsu kaupa 3 korda”. Algul õpilased teevad tahvlile, seejärel vihikusse. Igakord öeldakse: „Märgi üles, mis sa tegid!”
Õpilaste oskuste kontrollimiseks annab õpetaja neile ülesande ise mingi koguse kaupa mingi arv kordi joonistada ja märkida juurde õige tehe ja jutustada, mis ta joonistas.
♠ 4. sammul tuleb kasutusele korrutamismärk ja –võrdus.
Kaasneb selgitus, ket ui võtta mingi hulga kaupa mingi arv kordi ja seda liitmisega üles märkida on see liiga pikk ja ebamugav. Sellepärast on matemaatikas korrutamistehe. Selgituseks laseme jälle joonistada näiteks 3 piparkooki 4 korda. Joonis tahvlil.
♥♥♥ ♥♥♥ ♥♥♥ ♥♥♥
3 + 3 + 3 + 3 = 12
4 • 3 = 12
Liitmistehte põhjal arutletakse mitme kaupa on võetud (kolme kaupa) ja mitu korda on kolme kaupa võetud (4 korda). Toetudes sellele kirjutab õpetaja nüüd ka korrutamisvõrduse ja selgitab, mida näitab esimene arv (mitu korda võeti), mida näitab teine arv (mitme kaupa võeti).
Korrutamisvõrdust õpitakse ka lugema.
♠ 5. samm, kus kinnistatakse korrutamisvõrduse kirjutamist. Põhiline on aga see, vastandatakse võrdsete liidetavate summa leidmise asendamine korrutamisega lihtsalt erinevate liidetavate summa leidmisega, st selgitatakse, millal võib liitmist asendada korrutamisega, millal mitte.
Näiteks tahvlijoonisel on ühes reas 3 korda 4 kolmnurga kaupa.
▲▲▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲▲▲
4 + 4 + 4 = 12
3 • 4 = 12
Teises reas aga on liidetud 5 kolmnurka, 3 kolmnurka ja 4 kolmnurka:
▲▲▲▲▲ ▲▲▲ ▲▲▲▲
5 + 3 + 4 = 12
Iga joonise alla kirjutatakse liitmistehe ja kus võimalik, asendatakse see korrutamisega.
♠ 6. sammu ülesandeks on korrutamistehte illustreerimine. Kasutatakse didaktilist materjali nii konkreetsete esemete kui ka pildimaterjali näol.
Töökäik:
õpetaja kirjutab tahvlile korrutamisülesande 2 • 4
õpilased loevad selle ülesande ja asetavad enda ette lauale vastavalt grupid.
Antud juhul
☻☻☻☻ ☻☻☻☻
sest esimene arv näitab, mitu korda on võetud, teine arv aga mitme kaupa on võetud.
Algul illustreeritakse 2 – 3 võrdust kollektiivselt, loetakse ülesannet uuesti ja kirjutatakse vastus. Pärast töötavad õpilased iseseisvalt, kes valmis sai, kirjutab tahvlile vastuse.
♠ 7. sammul kinnistatakse käsitletud materjali. Kinnistatakse tõhustamiseks ja vastavasuunalise mõttetegevuse arendamiseks erinevates situatsioonides, tuuakse sisse uus tekstülesanne:
„Ema ostis poest mune. Müüja pani talle kotti 5 korda 2 muna kaupa. Mitu muna ema ostis?”
Seda tüüpi ülesande esmasel lahendamisel esitab õpetaja ise ülesande tingimused, illustreerib neid, seejärel illustreerivad andmeid juba õpilased ise ja kirjutavad selle põhjal vastava korrutamistehte.
Selleks, et korrutamistehte valik antud tüüpi ülesannetes ei muutuks mehaaniliseks, taolisi ülesandeid aeg-ajalt ülesannetega summa leidmisele. Näiteks:
„Ema ostis poest mune. Müüja pani algul kotti 5 muna, siis veel 2 muna. Mitu muna ema ostis?”
Need ülesanded peaksid olema võimalikult sarnased – kirjeldatakse praktiliselt ühte ja sama situatsiooni, ka arvandmed peaksid olema võimalikult sarnased, kuid lahendused erinevad.
♠ 8. samm. Tegeldakse põhiliselt korrutamise asendamisega liitmisega.
Näiteks 5 • 3 = 15; 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15.
Lahendatakse ka järgmise sisuga tekstülesandeid.
„Kolmes karbis on igaühes 5 pliiatsit. Mitu pliiatsit on kolmes karbis kokku?”.
Järgnevalt koostatakse korrutamisvõrdusi niisuguste illustratsioonide järgi, kus hulgad on esitatud ridadena.
♥ ♥ ♥ ♥ ♥ ♥
2 • 3 = 6
Lahendatakse ka vastavasisulisi tekstülesandeid:
„Pere istutas ploomipuid. Nad istutasid 3 rida nii, et igas reas oli 5 puud. Mitu ploomipuud istutas pere?”
Korraldatakse elulisi näiteid või ka nt õppekäike, mille puhul õpetaja püstitab laste ette ülesande leida mängus, looduses, tänavalt (just) niisuguseid esemete gruppe, mille koguhulga määramiseks oleks vaja korrutamistehet.
♠ 9.samm: korrutustabeli koostamisele 20 piires.
Tabeli koostamist on vaja diferentseerida, st tugevamad õpilased võivad koostada tabeli iseseisvalt jooniste või liitmisvõrduste abil, st nii nagu seda tehakse traditsiooniliselt.
2 + 0 = 2 ☼ ☼ 1 • 2 = 2
2 + 2 = 4 ☼☼ ☼☼ 2 • 2 = 4
2 + 2 + 2 = 6 ☼☼ ☼☼ ☼☼ 3 • 2 = 6
2 + 2 + 2 + 2 = 8 ☼☼ ☼☼ ☼☼ ☼☼ 4 • 2=8
Pärast tabeli koostamist hakatakse korrutamisvõrdusi 20-piires sisse lülitama ka peastarvutamise etapi harjutustesse.
Seejärel antakse õpitud tehete kinnistamise eesmärgil puuduva tehtekomponendi (I või II teguri) leidmiseks, korrutamisharjutusi õige märgi asetamiseks, samuti liitülesandeid korrutamise või ja liitmisega või korrutamise ja lahutamisega.
Näiteks:
„Leia puuduv tegur!” „Pane õige märk ><=” „Arvuta!”
3 • … = 6 3 • 2 … 6 3 • 2 + 4 =
… • 2 = 8 4 • 2 … 8 2 • 5 – 8 =
Liitülesannete koostamisel kehtib nõue, et tehetejärjekord oleks ülesandes juba antud (esimene tehe peab olema korrutamine).
Jagamistehete õpetamine
Jagamistehte sisu selgitamisel tehakse põhiviga selles, et käsitletakse neid kui võrdsete vähendajate lahutamist, selle asemel, et selgitada jagamist kui võrdseteks osadeks jaotamist.
Põhiline on siin võtte tõlgendus, sest võrdseteks osadeks jaotamise puhul on tegemist mingist hulgast kogu aeg kindla hulga kaupa ära võtmisega, mis tähendab pidevat järjestikku lahutamist. Praktika on näidanud, et õpiraskustega õpilastel on raske mõista jagamistehte sisu kui võrdsete vähendajate lahutamise juhtu.
Jagamist on proovitud ka selgitada kui korrutamise pöördtehet, kuid ka selliselt omandavad õpiraskustega õpilased jagamise raskustega, sest neil on raske vabaneda juba omandatud stereotüübist ja kanda tuttavaid elemente (korrutis : tegur = tegur) täiesti uude, sisult vastupidisesse situatsiooni.
Štitiliene pakub jagamise õpetamiseks välja järgmise süsteemi:
1. Luua ja täpsustada kujutlusi võrdsetest ja ebavõrdsetest osadest.
2. Konkreetsete esemete hulkade praktiline jaotamine võrdseteks osadeks.
3. Tutvustada jagamismärki ja jagamisvõrdust.
4. Illustreerida jagamisvõrdust.
5. Näidata jagamistehte seost korrutamistehtega.
6. Koostada jagamistabel.
7. Kinnistada jagamisoskused ja jagamise seos korrutamisega.
Jagamistehete õpetamisel järgitakse sama järjepidevust, mis korrutamiselgi. Arvestama peab ka sellega, et õpiraskustega õpilastel pole selge väljendi „Jaota võrdseteks osadeks!” tähendus.
Paremini mõistetakse seda siis, kui lasta lastel praktiliselt jaotada võrdselt midagi kellegi vahel. Kõige soodsam on alustada mingi esemete hulga jaotamisest õpilaste vahel. Matemaatika metoodikas soovitatakse kahte viisi hulga jaotamiseks võrdseteks osadeks.
Esimesel juhul võetakse jaotatavast hulgast ühe- (kahe-, kolme-) esemekaupa ning antakse neile, kelle vahel jaotatakse, st toimub jaotamise põhimõte –mulle, sulle, talle; mulle, sulle, talle.
Teisel juhul võetakse jaotatavast hulgast kohe niipalju, kui mitme vahel jaotatakse. Näiteks jaotades kolme vahel, võetakse kohe kolm eset, antakse igaühele üks, siis jälle kolm ja igaühele üks, seni kuni hulk on jaotatud.
Jagamise õpetamisel on soovitav kasutada esimest jaotamise viisi.
Järgnevalt ülevaade õpetamisest sammude kaupa.
♣ 1.samm Luua ja täpsustada kujutlusi võrdsetest ja ebavõrdsetest osadest. Sel sammul soovitatakse õpilastel mingi ese (õun) jaotada 2, 3, 4, 5 jne võrdseks ja ebavõrdseks osaks. Seejärel järeldatakse üldiselt, et ebavõrdseteks osadeks on lihtne jaotada, aga võrdseteks osadeks jaotamiseks on vaja osata jagada täpselt.
Nüüd hakatakse õppima konkreetsete esemete jaotamist, st võrdseteks osadeks jaotamist.
Õpetaja kutsub klassi ette 2 õpilast, võtab ise laualt 6 kuubikut, lapsed loendavad, veenduvad, et on küll 6.
Õpetaja jaotab kuubikud kahe õpilase vahel I võtte abil, seejärel esitab küsimusi.
Küsimuste I voor:
-Mitu kuubikut mul oli? (6)
-Mitme õpilase vahel jaotan? (2)
-Mitu kuubikut sai kumbki õpilane? (3)
Küsimuste II voor:
-Nii, tähendab, mitu kuubikut ma jaotasime? (6)
-Vaadake, mitmeks osaks me jaotasime? (2-ks)
-Mitu kuubikut sai igasse ossa? (3)
Seejärel kutsutakse klassi ette 3-4 õpilast. Õpetaja, seejärel ka õpilased jaotavad erinevate esemete hulki, kusjuures iga kord vastatakse kollektiivselt järgmistele küsimustele:
„Mitme lapse vahel jaotati?” ja „Mitmeks osaks jaotati?”
Soovitatakse õpilastel jutustada, mida nad teevad. See on väga soodne tehte sisu paremaks mõistmiseks. Õpilaste vastused peaksid (ideaalis, mille poole püüelda) olema järgmised:
„Ma jaotasin 8 kuubikut võrdselt 4 nuku vahel. Iga nukk sai 2 kuubikut. Jagasin 8 kuubikut 4-ks võrdseks osaks, sain 2 kuubikut”.
♣ 2. sammu Konkreetsete esemete hulkade praktiline jaotamine võrdseteks osadeks. Siin ei jaotata asju mitte enam õpilaste või nukkude vahel, vaid laotakse võrdselt karpidesse, klaasidesse jne.
Jagatakse esemeid võrdseteks osadeks didaktilise materjalita, verbaalselt.
Jaota 6 taldrikut kahte (kolme) võrdsesse ossa.
Jaotatakse ka illustratiivse materjali põhjal (pildimaterjal, skeemid).
♣ 3. samm. Tutvustada jagamismärki ja jagamisvõrdust. Tutvutakse jagamismärgiga ( : ) ja jagamisvõrduse kirjutusviisiga. Võrdus kirjutatakse peale vastava praktilise tegevuse sooritamist ja selle kommenteerimist.
Sel etapil kinnistatakse võrduste kirjutamist ja lugemist ning vastavale võrdusele praktilise näite leidmist tekstülesannete lahendamisega.
Näiteks: „Isa tõi peenralt 8 suurt aiamaasikat ja jagas need võrdselt 2-le lapsele. Mitu maasikat andis isa igale lapsele?”
Algul toob õpetaja vastavatest ülesannetest ise andmed välja, kandes vastava tegevuse praktilisse situatsiooni. Kirjutab vastava jagamisvõrduse, kirjutab vastuse. Edaspidi toovad andmed välja ja sooritavad didaktilise materjaliga tegevuse õpilased ise. Kirjutatakse ka vastav jagamisvõrdus ja vastus.
Lõpuks lahendavad õpilased vastavaid ülesandeid ilma näitlike või didaktiliste materjalideta.
♣ 4. sammul kinnistatakse õpitut ning illustreeritakse jagamisvõrdust. Illustreerimise puhul on vaja silmas pidada, et jagamist, mille puhul õpilane tulemust veel ei tea, illustreerida ei saa. Seega illustreerime ainult need juhud, kus õpilane on eelnevate harjutuste tulemusel juba vastused meelde jätnud (4 : 2 = 2 ; 6 : 2 = 3 ; 6 : 3 = 2 ; 8 : 4 = 2 jne).
Uuena tuuakse tehete kinnistamiseks sisse veel üks tekstülesande sõnastuse variant:
„Poiss pani oma 10 värvipliiatsit võrdselt kahte karpi. Mitu pliiatsit ta pani kummassegi karpi?”
Ülesande esialgseks lahendamiseks kasutatakse jälle praktilisi tegevusi.
♣ 5. sammul Näidata jagamistehte seost korrutamistehtega.
Õpetaja kutsub tahvli juurde õpilasi, kusjuures tahvel on jagatud pooleks.
Tahvli vasakul poolel on korrutamisülesanded.
2 • 3
3 • 4
5 • 2
Õpilane peab need tehted illustreerima, teine õpilane aga paremal pool teostab sama illustratsiooni ja kirjutab vastava jagamistehte.
☻☻☻ ☻☻☻ ☻☻☻ ☻☻☻
2 • 3 = 6 6 : 2 = 3
▲▲▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲▲▲ ▲▲▲▲
3 • 4 = 12 12 : 3 = 4
⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗ ⊗⊗
5 • 2 = 10 10 : 5 = 2
Esitatud visuaalse kujutluspildi põhjal tehakse järeldus, et ühe ja sama joonise järgi saab teha kaks tehet – korrutamise ja jagamise. Võrreldakse tehteid ja leitakse, et korrutamistehte järgi saab lugeda jagamistehet, kui alustada lugemist tagant ettepoole.
Asjast kindlama arusaamise kujundamiseks antakse õpilastele ülesanne koostada ühe joonise järgi korrutamis- ja jagamistehted.
♥♥♥♥ ♥♥♥♥ 2 • 4 = 8 8 : 2 = 4
Selle järel loevad lapsed korrutamisvõrduse ja annavad vastava jagamistehte juba ilma illustratsioonita.
♣ 6. sammul Koostatakse jagamistabel. Esialgu pühendatakse 2-ga jagamise tabeli koostamisele. Tabel koostatakse ikka konkreetse praktilise jaotamise alusel.
Õpiraskutega õpilaste puhul ei pruugi olla otstarbekas jagamistabeli koostamisel kasutada korrutustabeli abi, sest suur hulk ÕR-õpilastest ei omanda korrutamise ja jagamise vahelist seost ilma pikaajalise õpetamiseta. Õpeta teadlikult vastavate korrutamis- ja jagamistehete vastandamist ning tutvusta korrutamise ja jagamise tehete omavahelist seost.
Edasi pühendutakse jagamistabeli koostamisele 3, 4, 5-ga 20 piires, kusjuures iga jagamistabeli juht vastandatakse korrutamisjuhuga. Töö tulemusena saadakse tahvlile ka vihikusse järgmised kirjutised.
4 : 4 = 1 ☼ ☼ ☼ ☼ 4 • 1 = 4
8 : 4 = 2 ☼☼ ☼☼ ☼☼ ☼☼ 4 • 2 = 8
12 : 4 = 3 ☼☼☼ ☼☼☼ ☼☼☼ ☼☼☼ 4 • 3 = 12
jne
2 • 4 = 8 8 : 4 = 2
Tegur tegur korrutis jagatav jagaja jagatis
♣ 7. sammul Kinnistada jagamisoskused ja jagamise seos korrutamisega.
Kinnistamiseks on kasulikud sellised harjutused:
5 • 2 10 : 5 =
4 • 3 … : 4 = 3
3 • 4 12 : … = 4
Samuti on kasulik lahendada niisuguseid ülesandeid, kus jaotamise tulemuse õigsust on vaja korrutamisega kontrollida.
„Vanaema ostis poest 8 kommi ja tahtis need 2 lapselapse vahel võrdselt jaotada. Talle näis, et kumbki lapselaps saab 5 kommi. Kas vanaema oleks kommid õigesti jaotanud?”
Õpilased peavad nüüd õpetajale tõestama, et vanaema ei saanud nii jaotada, sest tal oleks siis pidanud olema 2 • 5 kommi, so kokku 10 kommi.
Veel lahendatakse ülesannete paare, kus üks lahendub korrutamistehtega, teine jagamisega.
1. „Tüdruk luges kolme päevaga raamatu läbi. Iga päev luges ta 5 lehekülge. Mitu lehekülge luges tüdruk?”
2. „Tüdruk luges 15 lehekülge kolme päevaga. Iga päev luges ta võrdse arvu lehekülgi. Mitu lehekülge luges tüdruk igal päeval?”
Lõpuks kinnistatakse korrutamis- ja jagamistehteid ja nendevahelisi seoseid ka peastarvutamise ülesannetest, nõudes vastavale korrutamistehtele õiget jagamistehet ja vastupidi.
Tabeliline korrutamine 100 piires
Kolmandas klassis kordub töö korrutustabeliga 20-ne piires ja jõuab lõpuni kogu korrutustabeli ja jagamise õppimine selle piires. Endiselt pööratakse palju tähelepanu näitlikele vahenditele ning võrdsete gruppidega hulkade loendamisele.
Ülesannete tulemus, kus korrutaja tuleb korrutatavast väiksem (6 • 2; 6 • 3 jne), tuleb kirjutada ka teistpidi, et õppida korrutamise seadust.
Vastust moodustades tuleb tingimata anda ülesanne korrutamise asendamistehtele – võrdsete liidetavate liitmisele. Vastused võrdsustuvad, aeg-ajalt võib lasta õpilastel teha korrutusülesande juurde joonis.
Jõuda tuleb selleni, et kui lapsed on unustanud korrutamisülesande vastuse, oskaksid nad seda leida võrdsete liidetavate liitmisega. Näiteks on laps unustanud ülesande 6 • 9, aga ta mäletab, et 6 • 6=36. Seega 36-le lisab ta kuue kaupa: 36 + 6 = 42 (so 6 • 7) jne, kuni 6 • 9 = 54.
Järgnevalt lõik tunnist, kus õpilased tutvuvad tabelis arvu 6 korrutamisega:
„Loeme kuue kaupa kuuekümneni. Loeme 60-nest kuue kaupa ära. Kas teate, et poodides grupeeritakse serviise kuue kaupa? Nt laua serviisis on kuus sügavat taldrikut jne. Nii müüakse ka söögiriistade komplekte: 6 nuga jne. Kui palju on lauaserviisis taldrikuid, kui seal on 6 suurt ja 6 väikest taldrikut. Millise tehtega saame seda teada?”
Tuletame meelde, kui palju on 3 • 6, siis vahetame korrutatavate kohad 6 • 3=18.
Jätkame tabeli koostamist: 6 • 4=? Kuidas leida vastust sellele tehtele? Vahetame korrutatavate kohad 4 • 6=24, tähendab 6 • 4=24. Kontrollimiseks asendame korrutamine liitmisega 6 • 4=6+6+6+6=24.
Lahendame tehte 6 • 5, kõigepealt 6 • 5=6+6+6+6+6=30.
Antud tunnilõigus on näidatud, kuidas ümberpaigutamisseadust korrutamises saab ära kasutada õpilastele uute korrutamisjuhtude tutvustamisel. Neil juhtudel kui korrutaja on võrdne või suurem korrutatavast (6 • 6; 6 • 7 jne), ei või vastuse otsimiseks seda võtet kasutada. Vastust otsitakse võrdsete liidetavatega liitmise tabeli abil, mis tugineb võrdsete gruppide arvutusülesannetele:
6+6+6+6+6+6=36 6 • 6=36
6 korda
6+6+6+6+6+6+6=42 6 • 7=42
7 korda
6+6+6+6+6+6+6+6=48 6 • 8=48
8 korda
6+6+6+6+6+6+6+6+6=54 6 • 9=54
9 korda
6+6+6+6+6+6+6+6+6+6=60 6 • 10=60
10 korda
Pärast arvu 6 korrutustabeli kokkupanekut peab õpetaja tähelepanu pöörama sellele, et iga tehte vastus võib olla saadud eelmisele 6-e lisamise teel.
Tabeliline jagamine 100 piires
Võrdseteks osadeks jagamise mõtet suudavad õpiraskustega õpilased mõista vaid läbi tegevuste esemeliste hulkadega. Iga õpilane peab lisaks jälgimisele ka ise võrdseteks osadeks jagamise operatsiooni esemeliselt läbi tegema. Alguses töötatakse esemete ja šabloonidega, hiljem piltide ja aplikatsioonidega. Igal õpilasel peaks olema arvukast või ümbrik vahenditega.
N loob õpetaja näitliku situatsiooni: Ema tõi poest neli apelsini. Tal on kaks last, Mati ja Kati. Ema andis apelsinid Katile ja palus need vennaga ära jagada. Kuidas Kati jagas apelsinid?
Õpetaja kutsub tahvli juurde kaks õpilast. Üks neist jagab apelsine. Selgub, et apelsine saab kahte gruppi jagada erinevalt:
* võib anda Katile 1 ja Matile 3
* võib anda Katile 3 ja Matile 1
* ja võib anda mõlemale 2, st jagada apelsinid võrdselt kahte ossa.
Edasi jagab õpetaja 6 pliiatsit võrdselt kahte klaasi ja näitab, et jagada on vaja ühe kaupa – üks pliiats pannakse esimesse, teine teise klaasi jne. Jagada on vaja seni, kuni ei jää enam ühtegi pliiatsit. Pärast seda on vaja üle lugeda, mitu pliiatsit on kummaski klaasis. Õpetaja esitab õpilastele küsimusi: Kui palju pliiatseid oli? Mitmeks võrdseks osaks jaotati? (Mitu klaasi oli?)? Kuidas jaotati? Mitme kaupa pandi pliiatseid klaasidesse? Mitu pliiatsit on igas klaasis? Kas pliiatsid jagati võrdselt?
Hulkadesse tuleks siinjuures jagada alati ühe kaupa.
Kui õpilased saavad aru kaheks võrdseks osaks jagamise protsessist, võib üle minna jagamistabeli koostamisele arvuga 2, jagamist alustatakse arvust 2. Õpilastele tutvustatakse ka jagamismärki (:) ja selle kirjapilti.
2:2=1 Arvutus viiakse läbi nii: võtame 2 õuna. Jagame need võrdselt kahte korvi. Vaadake, kuidas on vaja jagada. Ühe õuna paneme ühte, teise teise korvi. Kas kõik õunad on jagatud? Mitu õuna on mõlemas korvis? Tabeli kirjutamisele võib üle minna ka nii: kui palju oli õunu? (2) Kirjutame arvu 2. Mida tehti õuntega? (jagati) Sõna – jagama – tähistatakse kahe märgiga : (kaks täppi üksteise peal) Mitmeks võrdseks osaks jagati? (kaheks) Kirjutame arvu 2 Palju saadi? 2:2=1, loetakse nii – kaks jagada kahega võrdub üks.
Õpilastel lastakse loendada kahe ringi kaupa ja jagada need kaheks võrdseks osaks.
Korrutamine 0-ga
Kui aluseks võtta korrutamisel teadmine, et korrutamine on võrdsete liidetavate liitmine, võime kirjutada. 0 • 5=0+0+0+0+0, tähendab 0 • 5=0, liidetavate järjekorra muutmise seadusest lähtuvalt võime kirjutada 0 • 5 = 5 • 0
Järeldus. Korrutades nulli suvalise arvuga ja suvalist arvu nulliga on korrutis võrdne nulliga.
Õpilased jätavad meelde selle reegli, aga praktikas rakendades nad unustavad selle. Eriti ilmneb see tehetes mitmekohaliste arvudega, kus null leidub teiste numbrite keskel.
Nulli jagamist vaadeldakse korrutamise ja jagamise vastandamise põhimõttel 0 • 3=0, siit 0 : 3 = 0
Arusaadavamaks tegemisel on vaja see tuua elulähedasse situatsiooni: „Mul ei ole ühtegi kommi, st null kommi, ma jagan need null kommi kolme inimese vahel. Mitu kommi saab igaüks?” Sellised vahendid annavad kohe õpilastele võimaluse teadvustada, et jagades nulli suvalise arvuga saame alati nulli.
Nulliga jagamisele antakse reegel.
Näidetes, kus komponentideks on null või üks, teevad õpilased palju vigu. Sellepärast on vajalikud harjutused, mis aitavad neid teadmisi diferentseerida.
0:4 5•0 0:4 7:7 7•7
4:1 5•1 0•4 7-7 7:7
4:4 5+0 0+4 7•1 7+7
4-4 5+1 4-0. 7:1 7-7
Tundmatu komponendi leidmine jagamisel
Enne, kui hakatakse lahendama ülesandeid tundmatu jagatavaga, tutvustab õpetaja jagamise komponentide omavahelisi seoseid konkreetsete ülesannetega.
Näiteks: 12 ringi on vaja jagada kolmeks ühesuuruseks osaks. Õpetaja näitab õpilastele, kuidas jagamist teostada, jaotades 12 ringi kolmeks hunnikuks 12:3=4. Kui neli ringi võtta kolm korda, saadakse kokku 12.
Ei ole teada jagatav, aga teada on jagatis ja jagaja __: 3 = 4. Kui korrutada jagatis jagajaga, saame jagatava 3 • 4=12.
Seepeale tähistakse tundmatu jagatav X-ga:
X • 5=3
X= 3 • 5
X=15
Pärast seda lahendatakse tundmatu jagatava leidmisega ülesanne näitlikult: „Suures akvaariumis ujusid kalad. Nad tõsteti kolme väiksemasse akvaariumisse – igasse 6 kala. Mitu kala oli suures akvaariumis?”
Lahendus: X : 3 = 6
X=6 • 3
X=18 (kala)
See käitlus võetakse kasutusele pärast jagamise sisu tutvustamist. Vaadatakse sellist konkreetset ülesannet: 10 õuna jagati mitmesse kaussi. Igasse kaussi saadi 5 õuna. Mitu kaussi täideti õuntega? Kirjutame: 10 : X = 5
X=10 : 5
X=2 (kaussi)
Tehete järjekord
Tehete õppimine arvudega 100 piires jõuab lõpule õige tehete järjekorra tutvustamisega. Õpilased saavad teada, et kui ülesandes on liitmis-, lahutamis-, korrutamis- ja jagamistehe, siis kõigepealt sooritatakse korrutamine ja jagamine (I astme tehted) ja pärast järjekorras liitmine ja lahutamine (II astme tehted).
Selliste ülesannete lahendamisel on õpilastel vajalik õppida tehteid analüüsima. Selleks, et seda saavutada, on vaja esimese astme tehtele alla tõmmata üks joon ja teise astme tehtele kaks joont.
Vajalik on meeles pidada, et üpiraskustega õpilased eristavad raskustega varem omandatud teadmisi uutest. Kindlaks määrates sarnaseid ja erinevaid omadusi, peavad nad ebaolulisi tunnuseid olulisteks. Seepärast on tutvumisperioodil hädavajalik näidata ülesannete sarnasusi ja erinevusi.
5 + 4 • 3=17 ja (5 + 4)• 3 = 27
Vajalik on selgitada, millises järjekorras tehteid sooritatakse ja küsida, miks on vastused erinevad. Hädavajalik on kõrvutada ülesande lahendus selle näitega:
4 • 3+5 4 + 3 • 5 (4+3)• 5
Jagamine jäägiga
Viiakse läbi peale jagamistabeli õpetamist. Jäägiga jagamisel teevad lapsed palju vigu. Nad kas ei kirjuta jääki (nt 8:3=2) või lisavad selle osale (nt 8:3=4) või saavad jäägi suurema kui jagaja (nt 8:3=1, jääk 5).
Enne jäägiga jagamist on kasulik sooritada täiendavaid ülesandeid:
3 • 4 + 1
4 • 2 – 3
Jäägiga jagamist tuleb kindlasti seostada eluliste situatsioonidega, milles õppur veendub, et tihti saadakse jagamisel jääk.
Nt – Õpetaja kutsub 2 õpilast, aga kolmandal õpilasel laseb ta jagada nende kahe vahel esmalt 2 vihikut, seejärel 3; 4; 5 vihikut. Jagamisel konkreetsete esemetega kaasneb näidete ja kommentaaride üleskirjutamine: 2 :2= 1; 3 jagada kahte võrdsesse ossa (iga õpilane sai vihiku ja üks vihik jäi üle). Õpetaja näitab, kuidas üles kirjutada jääki 3:2=1 (jääk 1); 4:2=2; 5:2=2 (jääk 1). Vajalik on ka näidata nt: 7:3, aga 7 ei jagu 3-ga. Võtame 7-mest 1 ära, saame 6:3=2, jääk on 1.
Õpetaja õpetab jäägiga jagamist kontrollima: 5:2=2 (jääk 1). Kontroll: 2•2+1=4+1=5
Kindlasti ei ole vaja ainult rääkida, et JÄÄK peab olema väiksem jagajast, vaid tuleb iga kord küsida, et milline jääk jäi ja võrrelda seda jagajaga.
Näitülesanne: alguses võrdub jääk 1-ga, 2-ga, 3-ga.
3:2=1 (jääk 1) 5:2=2 (1) 6:4=1 (2)
4:3=1 (1) 7:3=2 (1)
7:4=1 (3)
11:4=2 (3)
Tundmatu tehtekomponendi leidmine korrutamisel
Seda teemat on otstarbekas lastele seletada peale seda, kui lapsed on tutvunud ja mõistnud korrutamise ja jagamise vahelist seost.
Näide: 2• 4=8
Koostatakse joonis, kus 8 jaotatakse 4 võrdsesse ossa: |||
Seejärel 8:4=2, st saadakse teine tegur. Kui 8:2 saadakse 4 – (8:2=4)
Samuti lahendatakse näiteid nagu 4 • __ = 12; __ • 4=32
Pärast asendatakse kastike sümboliga X, mis tähendab tundmatut komponenti.
N __ • 4=20 8 • X=48
X = 20 : 4 X = 48 : 8
X = 5 X=6
KOKKUVÕTE:
Korrutamise ja jagamise õpetamine tugineb järgmisele süsteemile:
1. Korrutamine kui võrdsete liidetavate summa.
2. Korrutustabeli koostamine arvuga 2.
3. Mõiste jagamine kui võrdseteks osadeks jaotamine.
4. Kahega jagamistabeli koostamine.
5. Korrutustabeli koostamine 20 piires. Tutvumine korrutamise kommutatiivsuse seadusega.
6. Jagamistabeli koostamine 20 piires (jagamine võrdseteks osadeks).
7. Jagamine kui korrutamise pöördtehe.
8. Korrutamise ja jagamise õpetamine 100 piires. Korrutamis- ja jagamistabeli koostamine.
9. Korrutamine ühekohaliste arvudega. Jagamine ühekohaliste arvudega.
10. Null kui jagamise komponent. Null kui jagatav.
11. Jagamine jäägiga.
Korrutamise ja jagamise õpetamisel on oluline, et õpetaja selgitaks konkreetse materjali alusel iga aritmeetilise toimingu mõtet. Vajalik on taotleda, et õpilased sooritaksid toiminguid konkreetsete esemetega ja suudaksid teha järeldusi, üldistusi, diferentseerida korrutamist liitmisest ja samal ajal leida seost nende toimingute vahel. Õpilased peavad teadvustama, et korrutamine on võrdsete liidetavate liitmine.
Materjali on koostatud Meelika Maila loengutest aines “Matemaatika erididaktika I osa” eripedagoogidele (2005)
ÕPPIMISE VÕLU 